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Posted On April 21, 2018 at 12:59 am by / Comments Off on Download PDF by Prof. Dr. Rolf Walter (auth.): Einführung in die lineare Algebra

By Prof. Dr. Rolf Walter (auth.)

ISBN-10: 3322832317

ISBN-13: 9783322832313

ISBN-10: 3528384883

ISBN-13: 9783528384883

Inhalt
Inhalt: Orientierung - Einige Grundstrukturen der Algebra - Vektorräume - Lineare Abbildungen - Determinanten - Reelle Räume mit Skalarprodukt - Eigenwerte und Jordansche Normalform - Anhang über Logik und Mengenlehre.

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Beziiglich dem Wurzelzeichen vgl. 11. **) Bei indexbehafteten Gr611en schreibt man haufig Z1 =: ZI, usw.. 52 1 Einige Grundstrukturen der Algebra Satz C. 3) IZI + Z21 ~ IZll + IZ21. Beweis. 1], da der Betrag in C nichts anderes ist als die euklidische Norm in R2. 1], weil dort der erste Faktor reell ist. Wir verwenden hier einfach B (ii): o (8) Ahnlich wie (6) beweist man (9) ftirz 2 i=0. 2] wollen wir noch eine weitere Darstellung einftihren. Dazu betrachten wir zunachst die komplexen Zahlen z = a + bi vom Betrag Iz I = 1, d.

2 rr rr 1 cos 4+ i· sin 4= 2" y'2 (1 + i) rr 1T = cos 2" + i . sin 2" =i. P I = 1 flir aIle Lemma E. p + I{! E R. P. eiI/J. I Beweis. p+ I/J) = cos (I{! + 1/1) + i sin (I{! + 1/1) = = cos I{! cos 1/1 - sin I{! sin 1/1 + i . (sin I{! cos 1/1 + cos I{! sin 1/1), (14) (I) = (cos I{! p. eil/J = cos I{! cos 1/1 - sin I{! sin 1/1 + i . (sin I{! cos 1/1 + cos I{! sin 1/1). Vergleich liefert die Behauptung. D 54 1 Einige Grundstrukturen der Algebra Mit der folgenden ersten Gleichung als Definition gilt nach (14) und (II): e- iop := ei(-op) = cos(-~)+i'sin(-~)=cos~-i'sin~, (22) also (23) e- iop \ =~.

26) Die Gleichungen (25) und (26) heiBen die Moivreschen Formeln. Wir gehen nun zur Darstellung beliebiger z E C liber: Satz G. Jedes z E C kann in der Form I (27) z = r' e iop I mit r, ~ E R und r ~ 0 dargestellt werden. Dabei ist r = Izl eindeutig bestimmt, ~ fur z eindeutig bis auf Addition ganzer Vielfacher von 27T und ~ willkurlich fur z = o. *0 Beweis. 2) und (18): (28) * Izl = Ir'eiopi = Irl·leiopi =r'l = r. Flir r 0 folgt aus re iop = rei>/l auch eiop = ei>/l, also wie oben aus D und (V): ~ -1/1 = 2k7T flir ein k E Z.

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by Brian
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