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Analytische Geometrie und Lineare Algebra 2 - download pdf or read online

Posted On April 21, 2018 at 12:54 am by / Comments Off on Analytische Geometrie und Lineare Algebra 2 - download pdf or read online

By Ina Kersten

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M} die Summe der Teilr¨ aume U1 , . . , Um . Dann heißt die Summe eine orthogonale Summe, wenn 1. U = U1 ⊕ · · · ⊕ Um (“direkte Summe”, vgl. 7 und Aufgabe 11). 2. ui ⊥uj f¨ ur alle ui ∈ Ui , uj ∈ Uj und i = j. 4 Das Radikal Seien V ein K-Vektorraum und s : V × V −→ K, (v, w) −→ v, w , eine symmetrische oder eine schiefsymmetrische Bilinearform auf V . 2 folgt. Definition. Rad V := {v ∈ V | v⊥v ∀v ∈ V } heißt das Radikal von V , und V heißt regul¨ ar oder nicht ausgeartet, falls Rad V = {0} gilt.

Ln . 2. V besitzt eine Orthogonalbasis, das ist eine Basis B = (v1 , . . , vn ) mit vi ⊥vj f¨ ur alle i = j (d. h. mit vi , vj = 0 f¨ ur alle i = j). 3. Es gibt eine Basis B von V so, dass  a1       MB (s) =       0 .. 0 0 .. 0 .. ··· ··· ··· .. .. 0 ··· ··· ··· 0 .. 0 .. 0 am 0 .. 0  0 ··· 0 ..  .   ..  .   0 ··· 0   0 ··· 0   ..  .  0 ··· 0 mit aj = 0 f¨ ur alle j = 1, . . , m, und es ist m = n − dimK Rad V . Beweis. Zu 1. Wir zeigen zun¨ achst, dass jeder orthogonal unzerlegbare Teilraum U von V eindimensional ist.

Bemerkung. Es sei 1 + 1 = 0 in K. Ferner sei V endlich dimensional und mit einer regul¨ aren symmetrischen Bilinearform s : V × V −→ K, (v, w) −→ v, w versehen. Dann gibt es eine orthogonale Zerlegung V = H1 ⊥ . . ⊥Hr ⊥Van mit r hyperbolischen Ebenen H1 , . . , Hr und einem anisotropen Raum Van , in dem kein Vektor isotrop ist. Die Zahl r und bis auf Isometrie der Raum Van sind durch V und s eindeutig bestimmt. Zum Beweis. Die Eindeutigkeitsaussage folgt aus dem sog. K¨ urzungssatz von Witt, den man in B¨ uchern u ¨ber quadratische Formen findet, vgl.

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