Algèbre [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir PDF

Posted On April 20, 2018 at 6:15 pm by / Comments Off on Algèbre [Lecture notes] by Antoine Chambert-Loir PDF

By Antoine Chambert-Loir

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Un morphisme f ∶ A → A est appelé endomorphisme de A, et automorphisme de A si c’est un isomorphisme. 2). — Soit A un monoïde (resp. un groupe). L’ensemble End(A) des endomorphismes de A est un sous-monoïde du monoïde des applications de A dans lui-même (pour la composition des applications). L’ensemble Aut(A) des automorphismes de A est l’ensemble de ses éléments inversibles ; c’est un sous-groupe du groupe des permutations de A (pour la composition des applications). 4. 3). — Soit A un monoïde (resp.

L’application orbitale de x, A → X, passe au quotient pour la relation d’équivalence à droite modulo Ax et définit une application de A/Ax dans X, donnée par la formule aAx ↦ a ⋅ x pour a ∈ A. Cette application est injective et son image est l’orbite de x. 12. — Soit A un groupe et soit B un sous-groupe de A. Les ensembles A/B et B/A des classes à droite et à gauche sont distincts en général. Cependant, l’application aB ↦ Ba−1 est une bijection de A/B sur B/A. Lorsque A/B (ou B/A) est fini, son cardinal est appelé indice de B dans A et noté (A ∶ B).

Enfin, si φ′ ∶ M(S) → A est un morphisme de monoïdes tel que φ ○ j = φ′ ○ j, φ et φ′ coïncident sur l’image j(S) de S. Comme cette image engendre M(S) et que Ker(φ, φ′ ) est un sous-monoïde de M(S), on a φ = φ′ . 3. — Soit S un ensemble et soit S′ une autre copie (disjointe) de l’ensemble S ; pour s ∈ S, l’élément correspondant de S est noté s′ . Soit M′ (S) le monoïde libre sur l’ensemble S∪S′ et soit j′ ∶ S∪S′ → M′ (S) l’injection canonique. Soit ∼ la plus petite relation d’équivalence dans M′ (S) qui est compatible avec sa structure de monoïde pour laquelle ss′ ∼ e et s′ s ∼ e pour tout s ∈ S et soit F(S) le 44 CHAPITRE 2.

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