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Posted On April 20, 2018 at 5:31 pm by / Comments Off on Read e-book online Algèbre : Chapitre 8 PDF

By Nicolas Bourbaki

ISBN-10: 2705612610

ISBN-13: 9782705612610

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Dans toute la fin de ce chapitre, nous désignerons par Ili,,„(M), ou 9i(i41), le radical d'un A-module M. 64 MODULES ET ANNEAUX SEMI-SIMPLES § 6 PROPOSITION 1. — Si M est un module de type fini non réduit à 0, on a MM) 0 M. Cela résulte de l'existence de sous-modules maximaux dans M (§ 3, prop 4). PROPOSITION 2. — Soient M et N des A-modules, f un homomorphisme de M dans N. On a /(9R(M)) c 9i(N). En effet, si g est un homomorphisme de N dans un module simple, gof s'annule dans 9i(M), donc g s'annule dans f(MNI)) ; d'où la proposition.

On appelle radical d'un A-module M le sous-module intersection des sous-modules maximaux de M, ou, ce qui revient au même, l'ensemble des éléments de M annulés par tout homornorphisme de M dans un A-module simple. On dit que M est sans radical si son radical est nul. Par exemple, sin est un idéal à gauche de A, dire que Ain est sans radical signifie que n est intersection d'idéaux à gauche maximaux. Il peut se faire qu'il n'existe aucun sous-module maximal dans M, auquel cas« M est égal à son radical (§ 3, exerc.

1. (a) = = v,. , définit encore une structure de A-module simple et fidèle sur V, et que ces structures sont deux à deux non isomorphes. 15) Soient A un anneau simple, M un A-module à gauche, /4* son dual (chap. II, § 4, no 1). a)Montrer que si M est de longueur finie n, III* est un A-module à droite de longueur n ; en déduire que A est un anneau frobeniusien (§ 4, exerc. 10). b)Pour tout sous-module N de M, l'orthogonal N°° de l'orthogonal N° de N est identique à N. c)Généraliser à M et M* les th.

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Algèbre : Chapitre 8 by Nicolas Bourbaki


by Thomas
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